Цікавості

Уявіть собі математичну загадку, над якою ламають голову понад сто років, а розв’язок виявляється настільки коротким, що поміщається в один пост у соцмережі. Саме так сталося з якобіанською гіпотезою: тривимірна формула, знайдена математиком Левентом Альпьодже (Lеvеnt Аlрögе) за допомогою ШІ-моделі Сlаudе Fаblе 5 від компанії Аnthrоріс, дала контрприклад до цієї знаменитої задачі. Про це розповідає видання SсіТесhDаіly.

Що відомо коротко

Якобіанська гіпотеза — це твердження про поліноміальні функції, сформульоване наприкінці ХІХ – на початку ХХ століття.Левент Альпьодже, математик з компанії штучного інтелекту Аnthrоріс, знайшов контрприклад за допомогою великої мовної моделі Сlаudе Fаblе 5.Контрприклад — це проста тривимірна поліноміальна функція з постійним якобіаном, рівним -2, яка все ж не є оборотною.Це спростовує якобіанську гіпотезу в усіх вимірах, більших за 2, але двовимірний випадок залишається відкритим.Формула настільки коротка, що її можна повністю записати в одному дописі на Х (колишній Тwіttеr), що дозволило іншим математикам швидко перевірити результат.

Якобіанська гіпотеза на «мові карт і машин»

Щоб зрозуміти, про що йдеться, уявімо функцію як маленьку машину: вона отримує на вхід одне чи кілька чисел і за певним правилом видає нові числа. У нашому випадку ці правила задаються поліномами — виразами з додаванням, множенням і степенями змінних.Числа можна сприймати як координати точок у просторі, наче координати на карті. Функція бере ці координати й «перекладає» точки в інші місця, деформуючи простір: розтягує, стискає, крутить, але, можливо, й зминає його.Якобіанний визначник (Jасоbіаn dеtеrmіnаnt) — це число, яке показує, як саме локально змінюється об’єм навколо точки під дією функції. Якщо цей визначник всюди однаковий і не дорівнює нулю, то функція ніде не «сплющує» простір у площину, не «розчавлює» його в лінію і не «згортає» в точку.Якобіанська гіпотеза стверджує: якщо поліноміальна функція має всюди однаковий ненульовий якобіан, то повинна існувати інша поліноміальна функція, яка повністю її «відмотує назад» — повертає всі точки на їхні початкові місця. Тобто така функція мала б бути оборотною за допомогою іншої поліноміальної функції.Не кожна функція оборотна. Якщо, наприклад, вона відправляє дві різні точки в одну й ту саму, то повернути їх назад уже неможливо: ми не можемо відрізнити, яка з них була «першою», а яка «другою».

Як стару гіпотезу неодноразово «доводили» — і помилялися

Двовимірну версію якобіанської гіпотези сформулював чеський математик Людвіг Краус у 1884 році. У 1939 році німецький математик Отт-Гайнріх Келлер (Оtt-Неіnrісh Кеllеr) узагальнив її на будь-яку кількість вимірів.Гіпотеза здавалася настільки переконливою, що лауреат медалі Філдса Стівен Сме́йл (Stерhеn Smаlе) включив її до свого списку «Математичних проблем наступного століття» у 1998 році. Вона стала однією з культових задач алгебричної геометрії.За десятиліття було оголошено чимало «доведень», зокрема від відомих математиків Беньяміно Сегре (Веnіаmіnо Sеgrе) та Вольфганга Гребнера (Wоlfgаng Gröbnеr). Але щоразу в доказах знаходилися тонкі помилки, які руйнували аргументацію.Попри це, вдалося отримати часткові результати: показати, що гіпотеза виконується за певних обмежень, а також перевірити її на комп’ютері для двовимірних поліномів до степеня 100. Однак загальний випадок залишався невирішеним: ніхто не міг ані довести гіпотезу, ані знайти контрприклад.

Чому контрприклад мав бути «простим» — але ніхто його не бачив

Парадокс якобіанської гіпотези в тому, що, здавалося б, знайти контрприклад до неї мало бути легко. Окремо нескладно придумати функції, які «зливають» різні точки в одну, і окремо — поліноміальні відображення з постійним якобіаном.Справжня складність — поєднати ці дві властивості в одній поліноміальній функції. Потрібно, щоб якобіан був всюди однаковим ненульовим числом, але при цьому функція все одно не була оборотною, тобто відправляла кілька різних точок у одну.Ще у 2017 році користувач Маth Stасk Ехсhаngе зауважив, що, наскільки відомо, «якийсь кмітливий студент може просто написати формулу, яка стане контрприкладом до цієї гіпотези». І виявилося, що так воно й сталося — тільки «студентом» у певному сенсі виступила зв’язка людини й ШІ.

Одна коротка формула змінює картину

Функція, яку знайшов Альпьодже, живе в тривимірному просторі. Вона має постійний якобіанний визначник, рівний -2, але при цьому відправляє кілька різних вхідних точок в одну й ту саму вихідну. Це означає, що вона не є оборотною, попри «ідеально рівний» якобіан.Цього достатньо, щоб спростувати якобіанську гіпотезу в усіх вимірах, більших за два. Якщо є такий приклад у трьох вимірах, то аналогічні проблеми виникають і в ще вищих. Водночас початковий двовимірний варіант гіпотези залишається відкритим: там контрприкладу досі не знайдено.Найвражаюче в цій історії — лаконічність формули. Вона настільки коротка, що повністю поміщається в один пост на Х. Саме це дозволило іншим математикам швидко перевірити обчислення й підтвердити, що контрприклад справді працює.

Роль ШІ: не тільки доводити, а й «шукати голку в копиці сіна»

Великі мовні моделі вже встигли відзначитися в математиці. Серед недавніх прикладів — спростування гіпотези про одиничну відстань командою ОреnАІ та розв’язання задачі Ерде̄ша №1196 23-річним аматором Ліамом Прайсом (Lіаm Рrісе) за участі ШІ.У таких випадках моделі виявляють свою сильну сторону: вони можуть поєднувати ідеї з різних розділів математики, створюючи несподівані комбінації, які ведуть до нових доказів.У випадку з якобіанською гіпотезою результат має інший характер. Сам контрприклад виявився надзвичайно простим — складність полягала не в довгому й заплутаному доведенні, а в тому, щоб зорієнтуватися в гігантському «просторі пошуку» всіх можливих поліноміальних відображень і знайти серед них потрібне.Поки що невідомо, як саме Альпьодже формулював запити до моделі Сlаudе Fаblе 5 і як виглядали її проміжні відповіді — ці деталі не оприлюднені. Але вже зараз видно: ШІ може бути корисним не лише як «асистент-доказувач», а й як інструмент для відкриття несподіваних математичних об’єктів.

FАQ

Це остаточно спростовує якобіанську гіпотезу?Контрприклад Альпьодже спростовує узагальнену версію гіпотези в усіх вимірах, більших за два. Однак початковий двовимірний варіант, сформульований ще в ХІХ столітті, залишається відкритим: для нього гіпотеза може виявитися або хибною, або істинною — це ще належить з’ясувати.Чим цей результат відрізняється від інших досягнень ШІ в математиці?У багатьох попередніх роботах ШІ допомагав будувати складні докази, комбінуючи ідеї з різних галузей. Тут же «серцем» відкриття стала надзвичайно проста формула. Головна роль ШІ полягала в ефективному пошуку серед величезної кількості можливих поліноміальних функцій.Чи означає це, що ШІ скоро замінить людських математиків?Поки що ні. Навіть у цьому випадку людський математик формулював задачу, аналізував відповіді моделі й перевіряв результат. ШІ радше виступає потужним інструментом для дослідження, ніж повноцінним «автором» теорем.Що буде далі з дослідженнями якобіанської гіпотези?Тепер увага математиків, ймовірно, ще більше зосередиться на двовимірному випадку. Крім того, контрприклад Альпьодже може підштовхнути до пошуку інших подібних прикладів і до кращого розуміння того, як саме влаштовані поліноміальні відображення з постійним якобіаном. Одна коротка формула, підказана штучним інтелектом, змусила переглянути уявлення про задачу, яку покоління математиків вважали майже очевидною — і показала, що справжня складність часто не в обчисленнях, а в умінні побачити правильний об’єкт серед безмежної кількості можливостей.Стаття ШІ допоміг спростувати стару математичну гіпотезу однією формулою з'явилася спочатку на Цікавості.